第四章把整个证明压到一句话：次谷 $B_m<$ 主峰 $c_3/\sigma_E$。第三章又把 $B_m$ 化成能量和 $\sum_h e^{-\frac{16}{9}Q_{\mathrm{ctrl}}(h)}$。这一章把它证出来。真正的敌人是「低能量频率可能很多」——数量（熵）也许压不住每项的大小。破解靠两把武器：一把是纯组合的 Lemma D（一段区间打不中一个同余类超过 2 次），它保证能量普遍偏大；另一把是 Peierls 能量–熵不等式，它把「能量大」翻译成「配置数被指数压制」。这两样我们完整推导；顶层的层级集装配（Theorem B / G5 / Sector-I）体量达上百页的机械记账，给精确陈述 + 策略 + Lean 定位，可按需展开。
要证 $\displaystyle B_m=\sum_{h\ \text{off-main}}e^{-\frac{16}{9}Q_{\mathrm{ctrl}}(h)}<\frac{c_3}{\sigma_E}$。每一项 $e^{-\frac{16}{9}Q}$ 单独看很小（$Q$ 大时），但项数是天文数字（频率 $h$ 遍历 $0\dots L-1$）。所以关键不是「单项小」，而是：
能量小的频率必须足够稀少。若「$Q_{\mathrm{ctrl}}(h)\le E$」的频率个数（熵）随 $E$ 增长得比 $e^{\frac{16}{9}E}$ 慢，则求和收敛且小。这正是统计物理里 Peierls 能量–熵较量的数学骨架：能量项 $e^{-cQ}$ 衰减 vs. 低能量态计数 $e^{(\text{熵})}$ 增长，谁赢谁说了算。
于是任务分两半：(A) 证明能量 $Q_{\mathrm{ctrl}}$ 普遍偏大（很少有频率能让所有控制边同时接近整数）——靠 Lemma D 与色散下界；(B) 把「能量大」正式换算成「配置数受控」——靠 Peierls 不等式。
控制边 $e=pq$（$p,q$ 不同块素数，互素）。频率 $h$ 在这条边上的贡献是 $\|h/(pq)\|^2$。因 $p,q$ 互素，中国剩余定理让 $h\bmod pq$ 等价于一对独立的余数 $(h\bmod p,\ h\bmod q)$。核心量是「倒数相位」
要证能量大，就要证「相位普遍不接近 $0$」，即接近 $0$ 的素数 $p$ 很少。这是一个纯粹的初等数论计数——Lemma D。
证明。按 $u$ 分纤维，先证每个固定 $u$ 至多 2 个 $p$（这是灵魂，lemmaD_fiber）。固定 $u\in[-U,U]$，看方程 $u\,p\equiv w\pmod q$：
现在关键的鸽笼：区间 $[X,2X]$ 长度为 $X\le q$。同一个 mod $q$ 类里的整数两两相差至少 $q$。若类里有 $\ge3$ 个落在 $[X,2X]$，则最大与最小相差 $\ge2q>X$，超出区间长度，矛盾。故至多 2 个。
对每个 $u$，满足条件的素数 $p\in[X,2X]$ 至多 2 个。$u$ 取遍 $[-U,U]$ 共 $2U+1$ 个值，求和得总数 $\le 2(2U+1)$。$\qquad\blacksquare$
等价的对偶视角（card_prime_factors_dyadic_le_two, :163）：一个非零整数 $n$ 若 $|n|<X^3$，则它在 $[X,2X]$ 里至多有 2 个素因子——因为 3 个 $\ge X$ 的素数乘积已 $\ge X^3>|n|$。两种说法同一枚硬币。
把 Lemma D 变现成能量下界。设 $F$ 是块内一撮素数（$F\subseteq[X,2X]$）、$q\notin F$、整数 $E$ 满足 $0<|E|<q$ 且 $q\nmid E$。取阈值 $\delta:=\dfrac{|F|}{32X}$。
证明——三步。
第一步：低相位 ⟹ 落进 Lemma D 的计数集。（phase_dvd_witness, :192）若 $\mathrm{phase}(E,q,p)\le\delta$，则存在整数 $s$，$|s|\le2\delta X$，且 $p\mid(E-s\,q)$。也即 $E\equiv s\,q\pmod p$，把 $p$ 归进以 $u=s$ 为标签的纤维。
第二步：用 Lemma D 数。标签 $s$ 满足 $|s|\le 2\delta X=:U$，故 $2U+1=4\delta X+1$ 个纤维，每纤维 $\le2$ 个素数（引理 6.1，$q\nmid E$ 提供 $q\nmid w$ 前提）。于是
$$\#\{p\in F:\ \mathrm{phase}\le\delta\}\ \le\ 2(2U+1)=2(4\delta X+1)=8\delta X+2.$$代入 $\delta=\dfrac{|F|}{32X}$：$8\delta X=8\cdot\dfrac{|F|}{32X}\cdot X=\dfrac{|F|}{4}$，故上界 $=\dfrac{|F|}4+2\le\dfrac{|F|}2$（当 $|F|\ge8$）。
第三步：剩下一半贡献能量。既然低相位素数 $\le|F|/2$，就有至少 $|F|/2$ 个素数 $p\in F$ 满足 $\mathrm{phase}(E,q,p)>\delta$，每个的平方 $>\delta^2$。因此
$$\sum_{p\in F}\mathrm{phase}^2\ \ge\ \frac{|F|}{2}\cdot\delta^2=\frac{|F|}{2}\cdot\Big(\frac{|F|}{32X}\Big)^2=\frac{|F|}{2}\cdot\frac{|F|^2}{1024\,X^2}=\frac{|F|^3}{2048\,X^2}=\frac{|F|^3}{2^{11}X^2}.$$（$2\cdot1024=2048=2^{11}$。）$\qquad\blacksquare$
只要频率的残差 $E$ 非零（即频率不在对应主弧），它在整块 $F$ 上就被迫积累起 $\gtrsim|F|^3/X^2$ 的能量。能量不是偶尔大，是结构性地必然大——这就是 Lemma D 造能量的方式。「$|F|^3$」的三次方来自「阈值 $\delta\propto|F|$」与「计数 $\ge|F|/2$」的复利。
现在把「能量大」正式换算成「配置和小」。这是全书最漂亮的一个初等引理，只用 $1+x\le e^x$ 和乘积展开。
证明——四步。
（i）给每个可行 $S$ 塞一个免费因子。可行即 $w(S):=\sum_{i\in S}w_i\le R$。于是 $e^{-\varepsilon R/2}\le e^{-\varepsilon w(S)/2}=\prod_{i\in S}e^{-\varepsilon w_i/2}$。两边乘 $e^{\varepsilon R/2}\prod_{i\in S}\mathrm{cost}_i\ (\ge0)$：
$$\prod_{i\in S}\mathrm{cost}_i\ \le\ e^{\varepsilon R/2}\prod_{i\in S}\big(\mathrm{cost}_i\,e^{-\varepsilon w_i/2}\big).$$（ii）可行子集之和 $\le$ 全体子集之和（每项非负，放宽求和范围只会变大）：
$$\sum_{\text{可行 }S}\prod_{i\in S}\mathrm{cost}_i\ \le\ e^{\varepsilon R/2}\sum_{S\subseteq I}\prod_{i\in S}\big(\mathrm{cost}_i\,e^{-\varepsilon w_i/2}\big).$$（iii）全体子集之和 $=$ 乘积。记 $a_i:=\mathrm{cost}_i\,e^{-\varepsilon w_i/2}$。经典展开 $\displaystyle\sum_{S\subseteq I}\prod_{i\in S}a_i=\prod_{i\in I}(1+a_i)$（每个 $i$ 独立选「入 $S$」贡献 $a_i$ 或「不入」贡献 $1$）。
（iv）用相容条件收尾。$1+a_i\le e^{a_i}$，而相容条件给 $a_i=\mathrm{cost}_i\,e^{-\varepsilon w_i/2}\le e^{\varepsilon w_i/4}e^{-\varepsilon w_i/2}=e^{-\varepsilon w_i/4}$。故
$$\prod_{i\in I}(1+a_i)\le\prod_{i\in I}e^{a_i}=\exp\Big(\sum_i a_i\Big)\le\exp\Big(\sum_i e^{-\varepsilon w_i/4}\Big).$$合并 (ii)(iii)(iv) 即得引理。$\qquad\blacksquare$
右边两个因子分别是熵与能量的账：
两账相抵，配置和被压到 $c_3/\sigma_E$ 之下。这就是 $B_m<c_3/\sigma_E$ 的引擎。
把 §3–5 的「一块 $F$」升级到「所有块、所有频率」，需要一个分类讨论——G6 局部化二分。
装配（G7 路线闭合）。把每个频率的能量地板喂进引理 6.3（$w_i\leftarrow$ 能量、$R\leftarrow$ 地板、$\mathrm{cost}\leftarrow e^{\cdots}$），层级集计数（G5，下节）贡献一个 $e^{8\varepsilon R}$ 型的熵因子，而增长的 Peierls 地板 $F_0(k_0)$ 把它吸收。选 $\varepsilon$ 足够小——记 $c$ 为衰减常数（这里 $c=\tfrac{16}{9}$ 一路的化身），取
$$\varepsilon_0=\min\Big(\frac{c}{16},\ \frac12\Big)\quad\Longrightarrow\quad 8\varepsilon_0\le\frac c2<c,$$于是熵因子 $e^{8\varepsilon_0 R}$ 被能量项 $e^{-cR}$ 净压制，级数收敛且 $B_m<c_3/\sigma_E$。GlobalControlG7.lean
早期「自由 $C_{\mathrm{glob}}$」路线是不健全的：一个与 $k_0$ 无关的 $k_0^{\min}$ 无法吸收随 $k_0$ 增长的层级集因子。正确做法是让 Peierls 地板先随 $k_0$ 增长、再选 $k_0^{\min}$，次序不能反。（G7 模块注释明确记录了这一点。）这正是「精确常数、正确次序」在形式化里被卡死的价值。
下面三块是把上述机制装成全局定理的骨架。它们在 Lean 里全部 sorry-free、完整证明；只是展开成人读文字约上百页、且绝大部分是机械的层级集记账与单调性核对。按讲义的诚实边界，这里给精确陈述 + 证明策略 + Lean 定位，可按需逐条展开。请注意：这是「篇幅」黑箱，不是「深度」或「漏洞」黑箱。
CrossLabelEnergy.lean）把非主导性翻译成色散前提，再调 §4。可展开点：A4 编码的具体比特记账、$Rw$ 的显式表达式与单调性（下条）。summable_int_gaussian）拼装；难点全在「因子随块数增长」与「地板增长」的定量赛跑，交给 Sector-I。可展开点：$\sqrt R/\sigma_{\mathrm{ctrl}}$ 因子来源、$A$ 的取值。beats_affine_of_tendsto, Rw_div_linear_tendsto）。据此，逐块地板之和最终吸收 G5 的层级集熵因子，Sector-I 部分求和收敛。可展开点：比较判别法的显式 $k$ 阈值、绝对常数 $c_2$ 的来历。G6（§6）把每个频率分派到「Theorem B 地板」或「色散地板」；G5 数清每个能量层的配置数；Sector-I 保证地板增长快过 G5 的计数；G7 选足够小的 $\varepsilon_0$ 与足够大的 $k_0^{\min}$ 让能量项净胜。合起来：$B_m<c_3/\sigma_E$。回到第四章引理 4.1，$\mathrm{Wcount}>0$。整台机器闭合。
经典圆法在这种「倒数相位」求和处常要动用 Kloosterman 和的深刻消去（Weil 界 $\sqrt p$）。Tang 的证明完全绕开了它，原因正是这一章的两块武器：
代价是常数不最优（$2^{11}$、$16/9$ 都很松），但换来完全初等、可形式化、无解析数论深水区的证明——这也是它能被 Lean 逐行核验、且能被本讲义逐行复算的根本原因。