前三章分别给了主弧的峰（$\ge c_3/\sigma_E$）和次弧的谷（$\le B_m$）。这一章很短，只做三件纯逻辑的事：(1) 峰高于谷 $\Rightarrow\mathrm{Wcount}>0$；(2) $\mathrm{Wcount}>0\Rightarrow$ 真的存在一个合法子集；(3) 把「表示 $1/b$」升级到「表示任意 $a/b$」，并处理基例，完成 Erdős #306 主定理。
回到第一章的主恒等式 $L\cdot\mathrm{Wcount}=\sum_{h<L}\mathrm{fourierTerm}(h)$。把频率按弧劈成两堆：
$$L\cdot\mathrm{Wcount}=\underbrace{\sum_{h\in S_M}\mathrm{fourierTerm}(h)}_{\text{主弧（第二章）}}+\underbrace{\sum_{h\in S_m}\mathrm{fourierTerm}(h)}_{\text{次弧（第三章）}}.$$$\mathrm{Wcount}$ 是一个非负实数（它是带非负权重的子集计数），所以等式左边是实数；两边取实部：
$$L\cdot\mathrm{Wcount}=\mathrm{Re}\!\sum_{S_M}\mathrm{fourierTerm}+\mathrm{Re}\!\sum_{S_m}\mathrm{fourierTerm}.$$代入两章的结论：
这就是整台圆法机器的唯一决胜不等式：主峰 $c_3/\sigma_E$ 严格高于次谷 $B_m$。第六章（SBEE）的全部苦工，就是把 $B_m$ 这个能量和压到 $c_3/\sigma_E$ 以下。一旦压住，$\mathrm{Wcount}>0$ 立刻到手。
$\mathrm{Wcount}>0$ 只是说「加权计数为正」，还要落地成「确实有那么一个子集」。这一步是逻辑常识：非负项之和为正 $\Rightarrow$ 至少一项为正。
而 $n_S=0$（第一章 §4：$n_S=\sum_{e\in S}L/e-L/b$，且无卷绕）恰恰翻译成
$$\sum_{e\in S}\frac1e=\frac1b,\qquad S\subseteq E\ \text{是一组互不相同的无平方半素数 }e=pq.$$换句话说：$1/b$ 被写成了有限个互不相同的 $1/(pq)$ 之和。这是核心圆法定理的最终产品。记它为：
对无平方因子的 $b$（在构造能启动的范围内），存在互不相同的素数对 $\{p_i,q_i\}$ 使 $$\frac1b=\sum_i\frac1{p_iq_i}.$$
Erdős #306 要的是任意 $a/b$（$b$ 无平方因子），不止 $1/b$。桥梁很朴素：$\dfrac ab=\underbrace{\dfrac1b+\dfrac1b+\cdots+\dfrac1b}_{a\ \text{份}}$。只要能把 $1/b$ 表示 $a$ 次、而且 $a$ 次用到的半素数两两不重复，把它们并起来就是 $a/b$ 的一个合法表示。
理由：圆法的边集 $E$ 建在任意大的素数块上（第五章），可用素数有无穷多；把落在 $T$ 里的有限个半素数从候选中划掉，构造照样启动，正性判据照样成立。
归纳造 $a$ 份。令 $T_0=\varnothing$。第 $k$ 步（$k=1,\dots,a$）用避开集 $T_{k-1}$ 得到 $1/b=\sum_{e\in S_k}1/e$，$S_k\cap T_{k-1}=\varnothing$；令 $T_k=T_{k-1}\cup S_k$。归纳保证 $S_1,\dots,S_a$ 两两不交。于是
$$\frac ab=\sum_{k=1}^{a}\frac1b=\sum_{k=1}^{a}\sum_{e\in S_k}\frac1e=\sum_{e\in S_1\cup\cdots\cup S_a}\frac1e,$$右端是互不相同的 $1/(pq)$ 之和。$a/b$ 表示完成。
圆法核心需要 $b$ 足够「有货」才能启动。极小的分母单独处理：
对每个分母无平方因子的正有理数 $a/b$，都存在有限个互不相同的素数对 $\{p,q\}$（$p\ne q$）使 $$\frac ab=\sum\frac1{pq}.$$
证明合流：$b$ 小 $\to$ 基例；$b$ 一般 $\to$ 核心存在性（第一~三章圆法，正性判据 4.1）给出单份 $1/b$，引理 4.3 的避开集归纳升级到 $a/b$。$\blacksquare$
剩下的两章是补齐两个「欠条」：