主弧给了个正下界 $\ge c_3/\sigma_E$。要收工，必须证明其余所有频率（次弧：至少有一条边的 $\|h/e\|$ 不小）加起来翻不了盘。这一章做的是初等、零跳步的那半边：用两个不等式 $1-x\le e^{-x}$ 和 Jordan 不等式 $\sin^2(\pi x)\ge4\|x\|^2$，把「振荡求和」干净地压成一个能量和 $\sum_h e^{-\frac{16}{9}Q_E(h)}$。至于「这个能量和确实很小」——那是全书最硬的一环，留给第六章。
记次弧为 $S_m=\{0,\dots,L-1\}\setminus S_M$（不在主弧里的频率）。我们要证它的贡献进不了主弧那个峰。第一步是最朴素的三角不等式——先把相位全扔掉、只看模长：
第一步是三角不等式 $|\sum z_k|\le\sum|z_k|$；第二个等号是因为 $\mathrm{fourierTerm}(h)=\hat\mu(h)\,e(-h/b)$ 而 $|e(-h/b)|=1$，且模长对乘积可分配 $|\prod|=\prod|\cdot|$。于是问题变成估计一堆非负实数 $|\hat\mu(h)|$ 的和——振荡消失了，剩下纯粹的衰减估计。
第一章已算出 $|\varphi_\theta(t)|^2=1-4\theta(1-\theta)\sin^2(\pi t)$。要把「一堆东西相乘」变成「一堆东西相加」，还是取对数最顺——但这里有更省事的招：用初等不等式 $1-x\le e^{-x}$（对所有实 $x$ 成立，因为 $e^{-x}$ 是凸函数、其在 $x=0$ 的切线恰是 $1-x$）。
连乘 $\prod_e$（指数相加）：
$$|\hat\mu(h)|=\prod_{e\in E}|\varphi_{\theta_e}(h/e)|\ \le\ \exp\!\Big(-2\sum_{e\in E}\theta_e(1-\theta_e)\sin^2(\pi h/e)\Big).$$现在指数里是 $\sin^2$——它随 $h/e$ 振荡、在整数处为零。要拿到「稳定的衰减」，得把 $\sin^2$ 换成一个更好用的、只看「离整数多远」的量。这就是 Jordan 不等式。
证明。分两步。
（i）先归约到 $\|x\|$。$\sin(\pi x)$ 以 $1$ 为周期取绝对值，且 $|\sin(\pi x)|=|\sin(\pi(x-n))|$（$n$ 为最近整数）。因为 $x-n=\pm\|x\|$ 而 $\|x\|\in[0,\tfrac12]$，且 $\sin(\pi\|x\|)\ge0$，所以 $$|\sin(\pi x)|=\sin(\pi\|x\|).$$ 于是只需对 $s:=\|x\|\in[0,\tfrac12]$ 证 $\sin(\pi s)\ge 2s$。
（ii）凹性给出弦在曲线之下。在区间 $[0,\tfrac{\pi}{2}]$ 上 $\sin$ 是凹的（$\sin''=-\sin\le0$）。凹函数的图像位于任意一条弦的上方。取连接端点 $(0,\sin0)=(0,0)$ 与 $(\tfrac\pi2,\sin\tfrac\pi2)=(\tfrac\pi2,1)$ 的弦，它在横坐标 $\pi s$（$s\in[0,\tfrac12]$，故 $\pi s\in[0,\tfrac\pi2]$）处的高度是 $$\text{弦高}=\frac{\pi s-0}{\tfrac\pi2-0}\cdot 1=2s.$$ 凹性即 $\sin(\pi s)\ge 2s$。两边平方（都非负）得 $\sin^2(\pi x)=\sin^2(\pi s)\ge4s^2=4\|x\|^2$。$\qquad\blacksquare$
把引理 3.3 代进 §2 末尾的指数上界。每条边的指数贡献 $-2\theta_e(1-\theta_e)\sin^2(\pi h/e)\le-2\theta_e(1-\theta_e)\cdot4\|h/e\|^2=-8\theta_e(1-\theta_e)\|h/e\|^2$。再用权重窗 $\theta_e\in[\tfrac13,\tfrac23]\Rightarrow\theta_e(1-\theta_e)\ge\tfrac29$：
常数由 $8\times\tfrac29=\tfrac{16}{9}$ 而来。$Q_E(h)$ 称为频率 $h$ 的能量：它同时衡量「$h$ 有多少条边远离整数」和「远多少」。$h$ 在主弧 $\Leftrightarrow$ 每条 $\|h/e\|$ 都小 $\Leftrightarrow$ $Q_E(h)$ 小；次弧上 $Q_E(h)$ 有正的下界。
于是引理 3.1 的目标彻底变形为一个纯几何量的求和：
$$\Big|\sum_{h\in S_m}\mathrm{fourierTerm}(h)\Big|\ \le\ \sum_{h\in S_m}\exp\!\Big(-\tfrac{16}{9}\,Q_E(h)\Big).$$振荡没了、特征函数没了、$b$ 也几乎没了——只剩下「格点 $h$ 离各边整数倍有多远」这一件几何事。
能量 $Q_E$ 里对所有边求和，边太多、结构杂，不好直接下手。构造（第五章）里有一族特别规整的控制边（control edges），它们的贡献单拎出来记作 $Q_{\mathrm{ctrl}}(h)$。由于 $Q_E$ 是非负项之和、控制边只是其中一部分：
这一步看着是「放松」（把上界放大），但它换来了结构：控制边经中国剩余定理（CRT）重新标号后，$Q_{\mathrm{ctrl}}$ 变成一个能用初等数论精细分析的能量泛函——正是第六章能量-熵机制的输入。放松一点点、拿回强结构，是划算的。
这一章把次弧问题完全初等地化简到了终点线前：
要完成整个证明，只需证明右边这个能量和严格小于主弧的峰 $c_3/\sigma_E$。等价地：次弧频率的能量 $Q_{\mathrm{ctrl}}(h)$ 普遍够大，使得 $e^{-\frac{16}{9}Q_{\mathrm{ctrl}}}$ 之和被压下去。
难点在于：可能有很多频率 $h$ 的能量都不太大（每个 $e^{-\frac{16}{9}Q}$ 不算太小），数量一多，和就可能爆掉。必须证明「能量小的频率很稀少」——低能量频率的计数（熵）被能量本身压制。这正是能量–熵（Peierls）机制与灵魂引理 Lemma D 要干的事，全部留给第六章。本章的功劳是：把一切多余结构剥掉，只留下这个干净的能量和。
顺带说明：主弧 + 次弧合起来，配上第四章的「取实部得正性」，就能断定 $\mathrm{Wcount}>0$。所以逻辑主线是：第二章（峰） + 第三、六章（谷） $\Rightarrow$ 第四章（正性收口）。